Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques


Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 84.9+36.2−21.6+82.7
A = 121.1−21.6+82.7
A = 99.5+82.7
A = 182.2
Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 119+7×10
A = 119+70
A = 189

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 35×9+3×9
A = 315+27
A = 342

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.
Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression A]

A = 99−(35+11)×2
A = 99−46×2
A = 99−92
A = 7

Remarque

Comme pour le calcul de A, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression B]

B = 5×(24−(8+5))
B = 5×(24−13)
B = 5×11
B = 55

Remarque

Comme pour le calcul de B, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression C]

C = 20+(17−5×3)×9
C = 20+(17−15)×9
C = 20+(2)×9
C = 20+18
C = 38

Remarque

Comme pour le calcul de C, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.
Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( times) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

  1. Le produit 3×b peut s'écrire 3b ;
  2. le produit b×s peut s'écrire bs ;
  3. le produit 9×(s+3) peut s'écrire 9(s+3). On dit 9 facteur de s+3 ;
  4. le produit 3×(b−9) peut s'écrire 3(b−9). On dit 3 facteur de b−9;
  5. le produit b×b peut s'écrire b 2. On dit b au carré. De même on a 3×3=3 2 ce qui vaut 9.

Remarque [Attention]

Le signe times est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, 3×9 ne s'écrit pas 39ldots puisque cela vaut 27.
Sur les expressions numériques → III Simplification d'écriture

IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres k, a et b. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
k(a+b) = ka+kb k(a−b) = ka−kb
(a+b)k = ak+bk (a−b)k = ak−bk

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer A]

A = 2×(18−1)
A = 2×18−2×1
A = 36−2
A = 34
     
A = 2×(18−1)
A = 2×17
A = 34

Exemple [Calculer B]

B = 10×5−4×5
B = (10−4)×5
B = 6×5
B = 30
     
B = 10×5−4×5
B = 50−20
B = 30


Un côté du rectangle rouge mesure a. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure k. L'autre côté du rectangle bleu mesure b.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont k et a+b.
Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :
  1. pour développer :
    10×(7−2) = 10×7−10×2
  2. pour factoriser :
    6×9−6×7=6×(9−7)
Sur les expressions numériques → IV Distributivité → IV-2 Développer, factoriser

V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons A]

A = 289×12
A = 289×(10+2)
A = 289×10+289×2
A = 2890+578
A = 3468

Exemple [Calculons B]

B = 3×3075+7×3075
B = 3075×(7+3)
B = 3075×10
B = 30750
Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental

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