Fractions rationnelles

Guide

• Définition d'un élément simple
• Théorème
• Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
• Calcul de la partie entière
  • Division euclidienne
• Calcul de la partie polaire
  • Le degré de Q est 2 et le degré de P est strictement inférieur à 2
  • Cas où le dénominateur est de degré 3
• Exercices : Exercices de calcul : (de plus en plus de calculs !)

  • Pôles réels simples
  • Pôles réels simples
  • Pôles réels simples et partie entière
  • Pôles réels simples et partie entière
  • Pôles réels et complexes
  • Partie entière, pôles réels et complexes

  Reconnaître si une expression peut être le développement en éléments simples d'une fraction rationnelle :

  • Reconnaître
  • Reconnaître
  • Reconnaître
• Algorithme général

Définition d'un élément simple

Par exemple,

ou encore

On note $ℝ(X)$ l'ensemble des fractions rationnelles sur .

Théorème

Théorème

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.

• Calcul de la partie entière
• Calcul de la partie polaire

Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle ${\displaystyle \frac{P}{Q}}$, c'est-à-dire les racines du polynôme $Q$.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit ${\displaystyle \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$ une fraction rationnelle avec

$Q(x)={\prod }_{i=1}^r(x-u_i{)}^{n_i}{\prod }_{j=1}^s(x^2+p_{j}x+q_j{)}^{m_j}$

avec les u _i des réels, les p _j et les q _j des réels tels que $p_j^2-4q_j<0$ et les n _i et les m _j des entiers strictement positifs.

Calcul de la partie entière

Ainsi :

$P(x)=E(x)Q(x)+R(x)$

avec $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(Q)$ ) et

${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\displaystyle \frac{R(x)}{Q(x)}}$

On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment faire la division euclidienne ?

Division euclidienne

Faisons la division euclidienne sur des exemples. N'hésitez pas à recommencer . Et allez voir ensuite comment poser la division euclidienne .

Prenons $P(x)$=, $Q(x)$= alors :

=()() +()

c'est-à-dire $P=\mathrm{EQ}+R$ avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN. Effectuons la division : on écrit avec P=P₀ :

P₀(x)= Q +

Le degré de $P_1=$ est strictement plus petit que celui de $P_0$. Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est P₁= ; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.
En général, on pose la division euclidienne de la manière suivante

Calcul de la partie polaire

On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples quand deg(P) < deg(Q). Dans cette situation, la partie entière est nulle.
On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le théorème

• Le dénominateur est de degré 2.
• Le dénominateur est de degré 3.

Le degré de Q est 3 et celui de P est inférieur ou égal à 2

Soit une fraction rationnelle P(x)/Q(x) telle que le degré de Q est égal à 3 et le degré de P est au plus égal à 2. Suivant les racines du dénominateur, sa décomposition prendra l'une des formes suivantes où a, b, c, A, B, C sont des réels :

• Si Q(x) admet 3 racines simples distinctes réelles

  ${\displaystyle \frac{P(x)}{(x-u)(x-v)(x-w)}}={\displaystyle \frac{A}{x-u}}+{\displaystyle \frac{B}{x-v}}+{\displaystyle \frac{C}{x-w}}$

  Pour calculer A : on utilise la Technique 1
  On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$. On obtient immédiatement ${\displaystyle \frac{A}{x-u}}$.
  
  et de même pour B et C
  Exemple
• Si Q(x) admet 1 racine simple et 1 racine double réelle :
  

  ${\displaystyle \frac{P(x)}{(x-u)(x-v{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{(x-u)}}+{\displaystyle \frac{B}{x-v}}+{\displaystyle \frac{C}{(x-v{)}^2}}$

  
  Technique
  On calcule A et C par la technique 1 et la technique 2 donne la valeur de A + B. Technique 1

  On multiplie l'égalité ci-dessus par (x - v)², puis on donne à x la valeur v. On obtient immédiatement le coefficient de ${\displaystyle \frac{1}{{(x-v)}^2}}$.

  
  Technique 1

  On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$. On obtient immédiatement ${\displaystyle \frac{A}{x-u}}$.

  Technique 2

  On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
  
  Exemple
• Si Q(x) admet 1 racine simple réelle et 2 racines complexes conjuguées :
  

  ${\displaystyle \frac{P(x)}{(x-u)(x^2+px+q)}}={\displaystyle \frac{A}{x-u}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{Bx}+C}{x^2+px+q}}$

  
  Technique
  On calcule

  • A par la technique 1
    On multiplie l'égalité donnant la forme de la décomposition rationnelle en éléments simples par (x - u), puis on donne à $x$ la valeur $u$. On obtient immédiatement ${\displaystyle \frac{A}{x-u}}$.
  • B par la technique 2
    On multiplie l'égalité ci-dessus par x et on fait tendre x vers l'infini.
  • C par la technique 3
    L'égalité de décomposition est vraie pour tout x ; en donnant à x une valeur numérique, on obtient une relation entre les coefficients des numérateurs.
    
    
  
  Exemple
• Si Q(x) admet 1 racine triple réelle :

  ${\displaystyle \frac{P(x)}{(x-u{)}^3}}={\displaystyle \frac{A}{x-u}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-u{)}^2}}+{\displaystyle \frac{C}{(x-u{)}^3}}$

  Technique

  On peut calculer les trois coefficients $A$, $B$ et $C$

  • soit par les techniques précédentes
  • soit en faisant le changement de variable $y=x-u$. Le degré de $P$ est au plus 2 donc $P(y+u)$ s'écrit ay² + by + c. En divisant par y³=(x-u)³, on obtient

    ${\displaystyle \frac{P(y+a)}{y^3}}={\displaystyle \frac{a}{y}}+{\displaystyle \frac{b}{y^2}}+{\displaystyle \frac{c}{y^3}}$

    et par unicité de la décomposition, on en déduit $a=A$, $b=B$ et $c=C$.

  
  
  Exemple

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

• Pour calculer A, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=3, donc A = .
• Pour calculer B, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=-7, donc B = .
• Pour calculer C, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x=-12, donc C = .

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A et B tels que

• Pour calculer A, on multiple par , on obtient donc et on prend la valeur en x = -5, donc A =.
• Pour calculer C, on multiple par ()², on obtient donc et on prend la valeur en x = -7, donc C =.
• Pour calculer B, on multiple par x et on fait tendre x vers l'infini : on obtient donc -4 = A + B= + B, donc B =.

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

• Pour calculer A, on multiplie par , on obtient donc et on prend la valeur en x = 3, donc A =.
• Pour calculer B, on multiplie par x et on fait tendre x vers l'infini : on obtient donc 4= A+B=+B, donc B =.
• Pour calculer C, on prend une valeur particulière autre que le pôle 3, par exemple x = 0 : d'où C =.

Ainsi,

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

On fait le changement de variables x =. On a donc

Donc

Algorithme général

Pour des exemples de décomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir Exemple

• On calcule la partie entière en faisant la division euclidienne de P par Q
• On calcule la partie polaire de la décomposition en éléments simples correspondant à un pôle u de multiplicité m. La fraction rationnelle s'écrit avec Q₁(u) non nul. On fait un développement limité de P/Q₁ en x = u à l'ordre m :
  (en fait H est une fraction rationnelle de la forme P₁/Q₁ et donc n'ayant pas de pôle en x=u). On a donc
  et la partie polaire de la décomposition en éléments simples est exactement

• On fait de même pour tous les pôles.
• Dans le cas où les pôles sont complexes, on peut se ramener à la décomposition sur en regroupant les décompositions correspondant à un pôle et à son conjugué.

La décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus. Exemple