DOC Inégalités, intervalles, inéquations

Sommaire

ATTENTION ! Ce document est en chantier. Sa publication est nécessaire à la publication du document rénové : Inégalités, inéquations . Soyez patients, il va être complété.

Ce cours est une introduction aux notions simples sur les inégalités. Son but est de présenter définitions, propriétés de base, et calculs usuels. Pour une approche plus approfondie de ces notions, on pourra consulter avec profit le cours Inégalités, inéquations .

Les pages principales (A1, A2, A3, ...) proposent un parcours progressif avec définitions et règles, exemples simples et exercices basiques. Les pages annexes A2+, A4+, ... figurant ci-dessous en retrait, présentent d'autres exemples et exercices plus élaborés, partant souvent de situations concrètes.

A. Inégalités

B. Inégalités et opérations

C. Valeur absolue, carrés, racines

D. Intervalles

E. Majorer, minorer, encadrer

F. Inéquations

A1. Comparer des nombres

Cette page présente des définitions et de premiers exemples sur les façons de caractériser « le plus grand » ou « le plus petit » de deux nombres réels.

Définitions. Soient a, b, c, ... des nombres réels.

On dit que a est inférieur ou égal à b si la différence b−a est un nombre positif ou nul. On définit ainsi la relation a≤b.
On dit que a est supérieur ou égal à b si la différence b−a est un nombre négatif ou nul. On définit ainsi la relation a≥b.
Exemples I.
  1. Les relations 3≤5 et 5≤7 sont vraies. La double inégalité 3≤5≤7 signifie : 3≤5 et 5≤7.
  2. L'inégalité 3≤3+x 2 est vraie car le carré de x est toujours positif ou nul quel que soit le réel x.
  3. Étant donné deux nombres réels x et y, je note a leur double-produit et b le carré de leur somme. Montrer que a≤b.
    b=(x+y) 2=x 2+2xy+y 2. L'inégalité a≤b est vraie car b−a=x 2+y 2 est la somme de deux carrés, donc positive ou nulle.

Définitions.

On dit que a est strictement inférieur à b si la différence b−a est un nombre positif. On définit ainsi la relation a<b.
On dit que a est strictement supérieur à b si la différence b−a est un nombre négatif. On définit ainsi la relation a>b.
Exemples II.
  1. L'inégalité stricte 3<5 est vraie ainsi que l'inégalité large 3≤5.
  2. Quel que soit x≠1, le quotient F(x)=1−x 31−x est un nombre strictement positif.
    Selon l'identité remarquable a 3−b 3=(a−b)(a 2+a×b+b 2), le numérateur est égal à : (1−x)(1+x+x 2). Donc F(x)=1+x+x 2. Ce trinôme ayant un discriminant strictement négatif Δ=−3, est de signe constant, positif ici.
Les pages suivantes A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur décrivent les propriétés de ces relations de comparaison entre deux nombres.

A2. Relation inférieur/supérieur ou égal

Cette page expose les propriétés des relations leq et geq définies dans A1. Comparer des nombres .

Propriétés des relations ≤ et ≥
relation ≤ relation ≥
1 a≤a a≥a
2 ( a≤b et b≤a) ⇒a=b ( a≥b et b≥a) ⇒a=b
3 ( a≤b et b≤c) ⇒a≤c ( a≥b et b≥c ) ⇒a≥c

Les relations ≤ et ≥ sont dites réflexives (1), antisymétriques (2) et transitives (3). On dit que ce sont des relations d'ordre.

Exemple. Voici un exemple de la transitivité de la relation leq : 3≤4 et 4≤8⟹3≤8. .
Règles de comparaison des opposés et des inverses de deux nombres

relation ≤ relation ≥
1 a≤b⇔−b≤−a a≥b⇔−b≥−a
2 0<a≤b ou a≤b<0⇔ 1b≤1a 0>a≥b ou a≥b>0⇔ 1b≥1a

Si deux nombres a et b sont ordonnés par une inégalité, leurs opposés −a et −b sont reliés dans l'ordre opposé, de même pour leurs inverses 1a et 1b si a et b sont non nuls et de même signe.

Démonstration :
  1. Ordre des opposés −a et −b : la différence (−a)−(−b) est égale à b−a, ce qui fait le lien avec l'inégalité reliant les nombres a et b.
  2. Ordre des inverses 1a et 1b : la différence 1a−1b=b−aa×b est du même signe que b−a, car le dénominateur, comme produit de nombres de mêmes signes, est positif. D'où l'inégalité annoncée.
Exemple II.

Les propriétés 1 et 2 de la relation leq se traduisent ainsi : 5≤3⟹−3≤−5 et 0<5≤3⟹13≤15. .

A3. Relation strictement inférieur/supérieur

Cette page expose les propriétés des relations < et > définies dans A1. Comparer des nombres

Propriétés des relations < et >
1. a<a est faux donc < n'est pas une relation d'ordre.
2. a<b et b<a sont incompatibles
3. a<b et b<c ⟹a<c

La relation < est dite antiréflexive (propriété 1) et transitive (propriété 3). Les propriétés 1. à 3. sont aussi vraies pour la relation >.

Exemple. La transitivité de la relation < s'exprime dans l'exemple suivant. ( −5<−1 et −1<4) ⇒−5<4. .
Comparaison des opposés et des inverses de deux nombres

De même que pour les relations ≤ et ≥, si deux nombres a et b sont ordonnés par une inégalité stricte, leurs opposés −a et −b sont reliés dans l'ordre opposé, de même pour leurs inverses 1a et 1b si a et b sont non nuls et de même signe.


 relation < relation >
1 a<b⇔ −b<−a a>b⇔ −b>−a
2 0<a<b ou a<b<0⇔ 1b<1a 0>a>b ou a>b>0⇔ 1b>1a
Démonstration :
  1. Ordre des opposés −a et −b : la différence (−a)−(−b) est égale à b−a, ce qui fait le lien avec l'inégalité reliant les nombres a et b.
  2. Ordre des inverses 1a et 1b : la différence 1a−1b=b−aa×b est du même signe que b−a, car le dénominateur, comme produit de nombres de mêmes signes, est positif. D'où l'inégalité annoncée.
Exemple.

Les propriétés 1 et 2 de la relation leq se traduisent ainsi : 5<6⟹−6<−5 et 0<5<6⟹16<15. .

Remarque. Les relations ≤ et ≥ sont des « relations d'ordre » notamment du fait qu'elles relient tout nombre a à lui-même : a≤a et a≥a. Ce n'est pas le cas des relations < et > qui sont parfois improprement appelées « relations d'ordre strict » (cf. Propriété 1. ci-dessus).

A4. Encadrements

Cette page présente la notion d'encadrement c'est-à-dire de la situation où un nombre est compris entre deux autres dans une double inégalité.
Une présentation plus approfondie est disponible dans le document Inégalités, inéquations , particulièrement la page Inégalités.

Définition.

On appelle encadrement d'un nombre réel x une double inégalité où x figure entre deux nombres réels a et b tels que a≤b.
On dit que x est « compris entre a et b », et que x est minoré par a et majoré par b ou que m est un minorant de x et M un majorant de x.

L'encadrement peut être large, strict ou mixte.

Le réel positif b−a est appelé amplitude de l'encadrement.

On peut aussi se trouver en présence d'une double inégalité avec les relations ≥ et > au lieu de ≤ et <.
Exemples :
  1. 3≤x≤5. Le nombre x vérifiant cette double-inégalité est minoré par 3 et majoré par 5. L'amplitude de cet encadrement est égale à 5−3=2.
  2. Soit x=0. On tire au sort pour encadrer x deux nombres a et b situés entre −10 et 10. Pour a=−8 et b=5, l'amplitude est c=13.
  3. Il peut être utile d'encadrer un nombre décimal entre deux entiers : 71≤71.93≤72. .

A5. Comparer des fractions

Des fractions sont déjà en jeu dans les propriétés 2. des relations ≤ et ≥ ainsi que < et > exposées dans les pages A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur . D'autres exemples et exercices figurent à la page "Encadrer une fraction" du document Inégalités, inéquations .

Méthode pour comparer des fractions positives. Soient a, b, c, d des nombres réels vérifiant b≠0 et b≠d. Pour comparer les fractions F=ab et G=cd.
  1. on réduit F et G à un même dénominateur D. En première approche, on peut choisir D=a×b et l'on obtient :
    F=a×db×d et G=b×cb×d.
  2. comparer les fractions F et G est équivalent à comparer les nouveaux numérateurs M=a×d et N=b×c.
Exemple I. Partage de gâteau.
Parmi les parts F et G du gâteau, trouver la plus grande.
cas 1. F=37 ou G=512 ?
cas 2. F=712 et G=1318 ?		 KidPie
Un dénominateur commun est D=7×12=84. Les fractions réduites au même dénominateur sont F=3×127×12 et G=5×77×12, soit F=3684 et G=3584. La plus grande est F car son numérateur 36 est le plus grand. Les deux parts ne différent que de 184. C'est très peu !
On pourrait choisir comme dénominateur commun le produit D=12×18=216. Mais ici on observe que le nombre 6 est le plus grand commun diviseur (PGCD) de 12 et 18 : 12=6×2 et 18=6×3. On peut alors choisir comme dénominateur commun D=6×2×3=36. Les fractions réduites à ce même dénominateur sont F=7×312×3 et G=13×218×2. soit F=2136 et G=2636. La plus grande fraction est G car son numérateur 26 est le plus grand des deux.
Exemple II. Comparaison de deux fractions à termes positifs.

Comparer les fractions F=135 et G=116.

Si l'on choisit comme dénominateur commun D=5×6=30, alors F=7830etG=5530. D'où la conclusion F>G.


Fractions positives ou négatives. La comparaison est évidente si les fractions sont de signes opposés. Mais dans tous les cas, les dénominateurs étant systématiquement positifs, on réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs.
Exemples III.
  1. Comparer les fractions F=−97 et G=−75.
    Solution. Le dénominateur commun est D=7×5=35. Les fractions s'écrivent F=−9×57×5 et G=−7×75×7, soit F=−4535 et G=−4935. La plus grande fraction est F dont le numérateur −45 est le plus grand des deux.
  2. Soient les fractions F=225 et G=−565. Déterminer quelle est la plus grande.
    Le PGCD des dénominateurs 25 et 65 est égal à 5. On choisit comme dénominateur commun 5×13×5=325.
    Les deux fractions ont pour différence H=F−G=ND avec N=(2×13)−(5×−5)=51. Mais vu les signes des deux fractions, il est évident que la réponse est F>G.

B1. Inégalités et sommes

Cette page et les suivantes donnent les règles de comparaison entre des nombres reliés par une inégalité après une opération portant sur ses deux membres.

Règle : Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité.

Soient deux nombres a et b tels que a≤b. L'inégalité reste vraie si l'on ajoute (ou soustrait) à a et b un nombre c :

Ces règles permettent de simplifier une inégalité en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.
Elles se formulent de la même façon si l'on remplace dans la double inégalité la relation ≤ par l'une des suivantes <,≥,>.
La différence (b+d)−(a+c) est égale à la somme (b−a)+(d−c) qui est positive ou nulle. En effet les différences b−a et d−c sont positives ou nulles sachant les inégalités reliant a et b d'une part, c et d d'autre part.
Exemples I.
  1. 4≤7⟹4+5 ≤7+5 c'est à dire 9≤12.
  2. 1+12≤1+12+14⟹1+12+14 ≤1+12+14+14 =2 .
  3. L'inégalité x+3≤5 peut se simplifier ainsi : x+3−3 ≤5−3, c'est-à-dire x≤2.
Règle : Additionner deux inégalités terme à terme.

Étant donné quatre nombres réels a, b, c et d reliés par des inégalités de même sens, on peut les additionner terme à terme :

a≤betc≤d⇒a+c≤b+d. a≤betc<d⇒a+c<b+d.


a<betc<d⇒a+c<b+d. a<betc≤d⇒a+c<b+d.

Lorsqu'on additionne une inégalité stricte et une inégalité large de même sens, on obtient une inégalité stricte.

Attention ! cette règle ne s'applique pas de manière directe pour la soustraction. Pour l'encadrement d'une différence, voir la page B2. Inégalités et différences .
Exemples II.
  1. ( 3≤a≤9 et 6≤b≤10) ⇒3+6≤a+b≤9+10. La somme s=a+b est comprise entre 9 et 19.
  2. Partant des inégalités : 6≤a≤7 et 1≤b≤3, une soustraction terme à terme conduirait à une inégalité fausse : 6−1≤7−3, soit : 5≤4.
  3. Si x est un nombre strictement inférieur à 1, proposer un nombre strictement positif y tel que x+y<1.
    Prenons un exemple en donnant à la variable x une valeur donnée comme x=0.6. On peut choisir pour y le nombre 0.2 avec l'idée que c'est la moitié de l'écart entre x et 1. Dans le cas général, on peut de même choisir pour y la moitié de l'écart entre 1 et x. Cet écart est égal à 1−x. Soit y=1−x2. L'inégalité x+y<1 est bien vérifiée car on a x+y=x+1−x2=1+x2 et 1+x2<1+12=1 avec l'hypothèse x<1.

B2. Inégalités et différences

La propriété rappelée ci-dessous figure déjà dans les pages précédentes A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur ,
Règle. Changement de signes dans une inégalité.

Soient a et b des réels vérifiant a≤b. L'inégalité change de sens si l'on remplace a et b par leurs opposés, c'est-à-dire si on multiplie les deux membres de l'inégalité par −1.

a≤b⟹−a≥−b.

Exemple. 2≤5⟹−2≥−5 c'est-à-dire −5≤−2.
Remarque. Pour encadrer une différence a−b, le bon moyen est de la transformer en une somme comme dans les exemples ci-dessous.
Exemples. Encadrer une différence.
  1. Soient a et b sont 2 nombres réels ainsi encadrés : 6≤a≤7 et 1≤b≤3. Déterminer un encadrement de la différence a−b.
    Pour encadrer une différence d = a−b, il suffit de la ramener à une somme a+c avec c=−b.
    La règle précédente de comparaison des opposés de 2 nombres permet d'écrire : 1≤b≤3⟹−3≤c≤−1.
    En additionnant terme à terme les inégalités : 6≤a≤7 et −3≤c≤−1, on obtient 6−3≤a+c≤7−1. La différence d=a−b est ainsi comprise entre 3 et 6.
  2. On connaît pour les réels x et y les encadrements suivants : 2<x<5 et −7<y<2. Quel est le meilleur encadrement possible pour x−y ? Solution
  3. Cas général : on suppose que chacune des deux variables x et y est encadrée entre deux bornes : x 1<x<x 2 et y 1<y<y 2. En multipliant l'encadrement de y par −1, on obtient un encadrement de −y : −y 2<−y<−y 1. En additionnant terme à terme l'encadrement de x et celui de −y, on obtient x 1−y 2<x−y<x 2−y 1, comme on peut le voir sur cette figure : Visualiser l'encadrement d'une différence .
Exercices.
  1. Encadrer une différence

Pour aller plus loin : des exemples et exercices plus élaborés sont présentés dans la page B2+ J'encadre une différence .

Visualiser l'encadrement d'une différence

On suppose que deux variables x et y sont ainsi encadrées : −4<x<−3 et −4<y<3. En inversant les signes dans cette dernière double inégalité, on obtient : −(3)<−y<−(−4) d'où par addition avec la première : −4−(3)<x−y<−3−(−4) soit −7<x−y<1. On peut alors visualiser l'encadrement de x−y sur la figure.

Description de la figure. Le rectangle rouge est l'ensemble des points de coordonnées (x,y) vérifiant les inégalités −4<x<−3 et −4<y<3. Ce rectangle est compris dans la bande limitée par les deux droites vertes : ces droites vertes ont pour équation x−y=−7 et x−y=1 et sont parallèles à la droite d'équation x−y=0, c'est-à-dire la première bissectrice. Elles réalisent les bornes de x−y pour (x,y) dans le rectangle rouge.

B3. Inégalités et produits

Règle. Multiplier par un même nombre les deux membres d'une inégalité.

Si des nombres a et b vérifient a≤b, l'inégalité reste vraie quand on multiplie ses deux membres par un troisième nombre positif c. L'inégalité change de sens quand on multiplie ses deux membres par un nombre c négatif.

Ces propriétés restent vraies si l'on remplace la relation ≤ou≥ (inégalités larges) par la relation <ou> (inégalités strictes).
Démonstration. La différence (b×c)−(a×c) est égale à (b−a)×c qui est du signe de b−a si c≥0 et du signe contraire si c≤0. Et l'on sait que le signe de cette différence b−a dépend de l'ordre des nombres a et b.
Exemples.
  1. 4≤7 Longrightarrow 4×5 ≤7×5 soit 20≤35.
  2. 4≤7 Longrightarrow 4×−5 ≥7×−5 soit −20≥−35.
Règle. Multiplier deux inégalités terme à terme.

Si quatre réels a, b, c et d tous positifs ou nuls sont reliés par des inégalités de même sens, on peut les multiplier terme à terme :

a≤betc≤d⇒a×c≤b×d ... a≤betc<d⇒a×c<b×d
a<betc<d⇒a×c<b×d ... a<betc≤d⇒a×c<b×d
Pour déterminer l'ordre des produits a×c et b×d, on examine le signe de la différence D=b×d−a×c et on la rapproche des différences b−a et d−c qui sont positives ou nulles car a≤b et c≤d dans le premier cas de figure. Si l'on ajoute et soustrait le produit a×d, on obtient : D=b×d−2×d+a×d−a×c=(b−a)×d+(d−c)×a. C'est un nombre positif ou nul dans le premier cas de figure. On procède de même pour les trois autres cas de figure selon les inégalités en présence.

Remarque. Cette règle n'est vraie que si les 4 nombres sont positifs ou nuls. Un produit terme à terme des inégalités : −3≤−2 et −5≤−3, conduirait à l'inégalité fausse : −3×−5≤−2×−3, soit : 15≤6.

Exemples.
  1. Encadrer le produit de deux nombres positifs ou nuls. En effectuant le produit terme à terme des inégalités 3≤a≤10 et 6≤b≤8, on obtient 3×6≤a×b≤10×8. Le produit s=a×b est ainsi compris entre 18 et 80.
  2. Encadrer l'expression. F(x,y) = (1 - 5 cos x) times (4 - 1 cos y), où x et y sont deux variables réelles indépendantes.
    Solution. Comme les termes cosx et cosy sont encadrés entre −1 et 1, on peut écrire les encadrements suivants :
    Le terme f(x)=1−5cos(x) est encadré entre D ab=1+5=6 et S ab=1+5=−4 et le terme g(y)=4−cos(y) est encadré entre D cd=4−1=5 et S cd=4+1=3. En multipliant deux à deux ces bornes qui encadrent f(x) et g(y), on obtient celles m=−20 et M=30 qui encadrent le produit f(x)×g(y). D'où : −20≤F(x;y)≤30.
Encadrer un produit de nombres de signes quelconques. Voir la page D1+ Intervalles : produit avec signes quelconques (en chantier).
Exercices.
  1. Encadrer une expression de deux variables réelles x et y

B4. Inégalités et quotients

Le traitement des fractions comportant des expressions est repris et approfondi, dans le cours Inégalités, inéquations, à la page Encadrer une fraction .

Propriété. Simplifier une inégalité par division. Cela revient à diviser les deux membres de l'inégalité par un même terme ou à multiplier les deux membres par l'inverse de c. Selon son signe, le sens de l'inégalité est conservé ou non.
Exemples I.
  1. 77≤121⇔7×11≤11×11⟹7×1111≤11×1111⟹7≤11.
  2. Soit l'inégalité x 3+1≥x 2−1, vraie ou fausse selon la valeur de la variable x. Dans quel intervalle de ℝ est-elle vérifiée ?
    Si l'on applique des identités remarquables, l'inégalité devient : (x+1)(x 2−x+1)≥(x+1)(x−1). Elle est vérifiée pour x=−1. En divisant par (x+1), on obtient une inégalité dont le sens dépend du signe de (x+1). On traite donc les deux cas suivants.

    Si x>−1, on obtient : x 2−x+1≥x−1, soit : x 2−2x+2≥0, soit : (x−1) 2+1≥0, ce qui est vrai pour tout x, notamment pour tout x>−1.

    Si x<−1, on obtient : x 2−x+1≤x−1, soit : x 2−2x+2≤0, soit : (x−1) 2+1≥0, ce qui n'est jamais vrai.

    Au vu de ces deux cas de figure, l'inégalité est vérifiée dans le cas x>−1 c'est à dire pour x∈]−1;+∞[

    .
On rappelle cette règle vue dans A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur .
Règle. Comparer les inverses. Soient a et b sont deux réels non nuls de même signe.

a≤b Longrightarrow 1b≤1a

De même

a<b Longrightarrow 1b<1a.

Exemples II.
  1. Comparer les inverses de deux réels strictement positifs : 2≤16⟹116≤12. .
  2. Majorer un quotient de deux binômes : La fraction suivante F est fonction de deux variables réelles indépendantes x et y : F(x;y)=3x+64y+3.
    Trouver le plus petit entier P tel que la valeur de la fraction F(x;y) ne dépasse pas ce nombre P sachant que x≤8 et que y≥2.
    D'après les données, le dénominateur est positif, et comme tous les termes de la double inégalité sont positifs, on en déduit ce qui suit. On peut majorer le numérateur : 3x+6≤3×8+6=30, et minorer le dénominateur : 4y+3≥4×2+3=11. La fraction est ainsi majorée : F(x;y)=3x+64x+3≤3011≊≤3.

cours de remise à niveau sur le traitement des inégalités (Lycée-Université).
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