OEF Intégrale définie --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 21 exercices sur les intégrales définies d'une variable (théorie et calcul).

Il y a d'autres modules d'exercices sur les applications d'intégrales définies : OEF intégrale géométrique pour les applications en géométrie, et OEF intégrale physique pour les applications en physique.

Changement de bornes I

Soit une fonction telle que
.
Calculer la fonction définie par
.

Changement de bornes Ib

Soit une fonction telle que . Calculer la fonction définie par
.

Changement de bornes II

Soit une fonction telle que . Calculer la fonction définie par
.

Changevar I

Soit une fonction continue. Pour faire un changement de variable d'une intégrale définie comme suit, quelles valeurs de et faut-il prendre ?

Changevar II

Soit une fonction continue. Pour faire un changement de variable d'une intégrale définie comme suit, quelles valeurs de et faut-il prendre ?

Fonction & dérivée I

Soit une fonction dérivable vérifiant et . Que vaut ?
Votre réponse doit avoir une précision d'au moins 1/10000.

Fonction & dérivée II

Soit une fonction dérivable telle que

et . Que vaut ?
Votre réponse doit avoir une précision d'au moins 1/10000.

Fonction & dérivée III

Soit une fonction dérivable avec , où est une constante. Sachant que
et ,
quelle est la valeur de ?
Votre réponse doit avoir une précision d'au moins 1/10000.

Intégrale numérique

Calculer l'intégrale
à une précision de 0.01 %.

Inverse polynome

XXXXX La fonction définie par est continue et strictement monotone sur l'intervalle (vérifiez), avec , . Donc elle a une fonction réciproque définie sur l'intervalle . Calculez l'intégrale
Indication. Pour une fonction continue bijective , on a
.
.

Limdef intégrale I

Calculez la limite suivante en utilisant la définition d'intégrale définie:
.

Limdef intégrale II

Calculez la limite suivante en utilisant la définition d'intégrale définie:
.

Limdef intégrale III

Calculez la limite suivante en utilisant la définition d'intégrale définie :

Moyenne de fonction

Calculez la moyenne de la fonction définie par sur l'intervalle [,].

Changement de variable avec du sin

On souhaite trouver , (avec ) et la fonction tels que
= avec le changement de variable .
puis calculer la valeur de l'intégrale.
Si choisir et dans [-pi/2,pi/2]
et
L'intégrale vaut
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
La fonction racine carrée s'écrit sqrt. Par exemple, on tape sqrt(2) pour écrire le réel .
Mettez * pour les multiplications.
Écrire pi pour .

Intégrales définies et aires 1

Calculer
.
On a . Voici la représentation graphique de la fonction xrange -2, yrange , hline 0,0,black vline 0,0,black segment 0,,1,,yellow trange 0, plot black,t, trange -2, segment 1,,1,,black dsegment 1,,1,,black segment 0,,0,,black text black,-0.2,-0.2,medium,0 text black,0.6,-0.2,medium,1 gridfill ,*4/5,5,5, gridfill /2,*4/5,5,5, transparent yellow

Compléter l'affirmation suivante :

L'aire de la zone hachurée en représente de lorsque tend vers
L'aire de la zone hachurée en représente de lorsque tend vers

Calculer les limites de lorsque to +infty et lorsque to 0.
Consigne : écrire inf pour +infty et -inf pour - infty ; écrire non si la limite n'existe pas.

Intégrales définies et aires 2

Soit . Calculer .

=

On a . Le graphe de la fonction définie par est le suivant :

xrange -0.2,4*pi yrange -*5/4,*5/4 hline 0,0,black vline 0,0,black plot black, gridfill pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 3*pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 5*pi/2,*4/5,10,10,blue gridfill 7*pi/2,*4/5,10,10,blue

Calculer .

=

Consigne : si la limite n'existe pas, répondre non; si elle est infinie, répondre inf.

Intégrale avec sin cos

En faisant le changement de variable , déterminer la fonction telle que
.
.
L'intégrale vaut .
Donner les valeurs exactes et mettre * pour la multiplication.

Positive-Négative II

Soient deux fonctions continues et , définies sur l'intervalle [0,1], telles que . Parmi les propriétés suivantes, repérez celle dont vous êtes certain qu'elle est .

Positive-Négative

Soit une fonction continue définie sur l'intervalle [0,1], telle que . Parmi les propriétés suivantes, repérez celle dont vous êtes certain qu'elle est .

Somme de Riemann

Calculez la limite suivante en utilisant la définition d'intégrale définie :
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
La fonction arctangente s'écrit atan. Par exemple, on entre atan(2) pour écrire le réel .
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