OEF Développements limités et Taylor
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 20 exercices sur les développements
limités des fonctions à une variable réelle.
DL-ordre
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
=
+ ,
=
+ A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre+
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= + ,
= + A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ?
DL-ordrex
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= + ,
= + A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre-compos0
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :
Peut-on calculer un développement limité de
en ?
DL-ordre-compos*
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :
A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en ? Répondre -1 si les renseignements fournis ne sont pas suffisants pour pouvoir calculer un développement limité en .
Dérivée I
Nous avons une fonction
dérivable d'ordre 3 et ayant un développement limité
= au voisinage de . Que vaut la dérivée d'ordre de
au point ?
Dérivée II
Soit une fonction sur 
, et supposons qu'on peut écrire
= . On peut en déduire que est dérivable en un certain point
. Donner la valeur de
et celle de (
) .
Développements limités et notations 1
Soit f une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit
dans ce voisinage. De quel ordre est le développement limité de f au voisinage de l'origine ?
Développements limités et notations II
Soit
une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit, dans ce voisinage,
.
L'assertion suivante est-elle vraie ?
Estimation d'erreur I
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité
= au voisinage de 0. On suppose que
sur [,]. Calculer l'erreur maximale obtenue en remplaçant
par sur [,].
Estimation d'erreur II
Soit une fonction
dérivable à l'ordre dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité suivant
= au voisinage de . On suppose que
sur cet intervalle, quelle est l'erreur maximale faite en remplaçant
par
sur [,] ?
Estimation d'erreur III
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 sur et admettant le développement limité suivant
= au voisinage de 0. On suppose que
. On veut remplacer
par sur un intervalle
sans introduire une erreur supérieure à . Quelle est la valeur maximale de
possible ?
Tableau 2
Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur , avec le tableau de dérivées suivant : Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 2 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
(x) = P(x) + o(()2) ?
Tableau 3
Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur , avec le tableau de dérivées suivant : Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 3 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
(x) = P(x) + o(()3) ?
Tangente
La fonction admet au voisinage de le développement limité (x) = Soit la tangente au graphe de au point (, ()). Quelle est la position du graphe de par rapport à au voisinage de ?
- est au-dessous de .
- est au-dessus de .
- est au-dessous de à gauche (quand
< ), et au-dessus de à droite (quand
> ).
- est au-dessus de à gauche, et au-dessous de à droite.
Formule de Taylor 2
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
(si besoin,
est un point convenable tel que
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers ):
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers
avec
un réel entre
et
. Soit
la fonction affine définie par
. On suppose que
pour tout
vérifiant
.
Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non
Valeur
Soit une fonction définie sur et supposons qu'on peut écrire
= . On peut en déduire la valeur de en un certain point
. Donnez la valeur de
et celle de
.
Valeur II
Soit une fonction réelle, et supposons qu'on peut écrire (x) = . On peut en déduire que est dérivable en un certain point
. Donnez la valeur de
, et celle de
.
The most recent version
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que
WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne
sont pas des fichiers
HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE.
Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
- Description: collection d'exercices sur les développements limités ou asymptotiques des fonctions réelles et leurs applications. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, calculus,, taylor_series,functions,taylor_expansion,derivative,integral,tangent