II Quali isometrie del piano conosciamo?
II-1 Riflessione rispetto alla retta
III-2 Punti fissi per una isometria
III-3 Isometrie con tre punti fissi
III-4 Isometrie con due punti fissi
(Possiamo quindi scrivere questa serie di composizioni semplicemente come , cioè omettendo le parentesi.)
allora si può ricavare moltiplicando (a sinistra) per l'inverso di in questo modo
da cui segue
Questo significa che il punto appartiene all'asse del segmento (cfr. Asse ). Lo stesso ragionamento porta a concludere che il punto appartiene all'asse del segemento . Ma allora l'asse del segmento è proprio la retta .
e quindi (cfr. Asse ). Consideriamo la riflessione . Questa isometria si comporta in questo modo sui tre punti che stiamo considerando
Quindi quando componiamo seguita da , l'isometria si comporta in questo modo sui punti e :
Quindi è una isometria con almeno due punti fissi, e ricade perciò in uno dei casi precedenti.
e questo non può essere il caso nostro, in quanto ha un solo punto fisso, mentre ne ha infiniti (vero?).
Siccome le rette e passano entrambe per , siamo nel caso in cui la composizione di riflessioni è una rotazione di centro .
quindi è un punto fisso per . Questo significa che siamo in una delle casistiche già viste, ovvero una delle seguenti:
È facile osservare che è una isometria che inverte l'orientazione e che ha come punto fisso . Il fatto di avere (almeno) un punto fisso significa che può essere solo l'identità, una riflessione o una rotazione (cfr. Un:Punto:Fisso ). Il fatto di invertire l'orientazione riduce ulteriormente le possibilità: può solo essere una riflessione rispetto a una retta passante per . Quindi
da cui
L'ultimo sforzo consiste nell'osservare che se e sono due qualsiasi rette perpendicolari passanti per si può scrivere
La scelta di queste e è completamente arbitraria (purché si scelgano due rette perpendicolari passanti per ), possiamo allora sceglierle in modo che sia parallela a (e in questo caso è perpendicolare sia a che a ).
Essendo e due rette parallele, allora è una traslazione di vettore e questo vettore è perpendicolare a e , cioè è parallelo a . Quindi
con e paralleli.
isometrie del piano e loro classificazione.
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